Matemática Financeira

Conceitos básicos


    A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.


    Capital
    O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
     
    Juros
    Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
       
       
    JUROS SIMPLESo juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

    JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

   
    O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

 

    Quando usamos juros simples e juros compostos?

    A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

 

    Taxa de juros

    A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

    8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
    10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
    Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
    0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
    0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

    JUROS SIMPLES

     

        O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

     

    J = P . i . n

     

    Onde:

    J = juros
    P = principal (capital)
    i = taxa de juros
    n = número de períodos

       

        Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

    J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

        Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

       Montante = Principal + Juros
       
    Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

     

    M = P . ( 1 + ( i . n ) )

     

        Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

        SOLUÇÃO:
        M = P . ( 1 + (i.n) )
        M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

        Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.


       Exercícios sobre juros simples:

       1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

        0.13 / 6 = 0.02167
        logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195

        j = 1200 x 0.195 = 234

     

        2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

        Temos: J = P.i.n
        A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
        Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
        J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

     

        3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

        Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
        Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
        3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
        P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

     

       4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

       Objetivo: M = 2.P
        Dados: i = 150/100 = 1,5
        Fórmula: M = P (1 + i.n)
        Desenvolvimento:

    2P = P (1 + 1,5 n)
    2 = 1 + 1,5 n
    n = 2/3 ano = 8 meses

     

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    Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/finan2.php


    JUROS COMPOSTOS

        O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

     

        Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

     

    Após três meses de capitalização, temos:

        1º mês: M =P.(1 + i)
        2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
        3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

        Simplificando, obtemos a fórmula:
      

    M = P . (1 +  i)n

     

        Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

        Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
      

    J = M - P

     

        Exemplo:

       Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
      (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

       Resolução:

       P = R$6.000,00
        t = 1 ano = 12 meses
        i = 3,5 % a.m. = 0,035
        M = ?

      

       Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:

       M  =  6000.(1+0,035)12  =  6000. (1,035)12
        Fazendo  x = 1,03512 e aplicando logaritmos, 
    encontramos:

       log x = log 1,03512    =>   log x = 12 log 1,035    =>   log x = 0,1788    =>   x = 1,509

       Então  M = 6000.1,509 = 9054.

        Portanto o montante é R$9.054,00.


    Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/finan3.php


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