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Equações do 2° grau

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.


Exemplos:
  1. a x + b = 0
  2. a x² + bx + c = 0
  3. a x4 + b x² + c = 0

Para classificar o grau de uma equação, devemos observar qual é o maior expoente dessa incógnita na equação dada. No primeiro exemplo acima, a equação é de primeiro grau já que o maior expoente de x na equação dada é 1. No segundo exemplo, a equação é de segundo grau, pois o maior expoente de x é 2. Já no úlitmo exemplo, trata-se de uma equação de quarto grau.

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma: 
a x² + b x + c = 0, onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.


  • Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

2 x² + 7x + 5 = 0

3 x² + x + 2 = 0


  • Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

4 x² + 6x = 0

3 x² + 9 = 0

2 x² = 0

Resolução de equações incompletas do 2o. grau

1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9=0  »  x²=9  »  x=  »  x= 

2º caso: c=0

Considere a equação do 2º grau incompleta:

x²-9x=0 »  Basta fatorar o fator comum x:

x(x-9)=0  »  x=0; x=9

3º caso: b=c=0

2x²=0  »  x=0


  • Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau.

Para resolvê-la temos que usar a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau, que é a fórmula quadrática conhecida como fórmula de Bhaskara, mostrada abaixo:


onde 
D (ou a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por: D=b²-4ac

A fórmula contém um sinal ± que é lido como mais ou menos. Fazendo ora uma subtração, ora uma adição, obtem-se os dois valores para a incógnita x.

Essa fórmula também pode ser escrita da seguinte forma:

Curiosidade

A fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes de Bhaskara publicá-la. Esse fato foi reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

Para o discriminante D há três possíveis situações:
  1. Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
  2. Se D=0, há duas soluções iguais
  3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes.
EXEMPLOS:

1) 5x²-6x+5=0

a=5 b=-6 c=5

 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

 Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.

Logo:  » vazio

2) -x²+4x-4=0

a=-1, b=4 e c=-4

 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0

Sustituindo na fórmual de Bháskara:

  »  x=2   

 

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )


3) 
3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2

  = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:

 = 

  e   

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

Vídeo do YouTube



Fontes:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/eq2g.htm
http://www.exatas.mat.br/equacao2.htm
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